古賀恭一郎の日記

コツコツと自分のこと、感じたことを書いていきたいと思います。

平成30年度 技術士一次試験 機械部門択一(4)

平成31年の試験に向け、平成30年度 技術士一次試験 機械部門択一問題の解答解説っぽいことを続けてみます。
 
問題4 下図に示すように,2枚の鋼板の間に鋼板を接着した。このとき積層板に応力は発生していない。鋼板と銅板それぞれの横断面積をAs, Ac, 縦弾性係数をEs, Ec, 線膨張係数をαs,αc,とし,αs<αcとする。積層板の温度をΔTだけ上昇させたとき, 鋼板に生じる熱応力σsと銅板に生じる熱応力σcの組合せとして,最も適切なものはどれか。

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技術士会の正答は、①でした。
 
複合板は、力のつり合いを考えると、両端が解放されていて、荷重は同じで向きが逆ですので、
 -2σsAsσcAc …(1)
 
また、温度上昇後によって生じる変位λは等しい。λは熱膨張による変位と熱応力による変位からなっている。
 λ=αs・ΔT・L+σs/Es×L=αc・ΔT・L+σc/Ec×L
  =αs・ΔT+σs/Es=αc・ΔT+σc/Ec …(2)
 
σcは上の式(2)から、展開します。(おぉ長そうだなぁ)
 αs・ΔT+σs/Es=αc・ΔT+σc/Ec
 
ここで、式(1)から、σs=-σcAc/2As を代入すると、
 αs・ΔT-σcAc/2AsEs=αc・ΔT+σc/Ec
 σc/Ec+σcAc/2AsEs=αs・ΔT-αc・ΔT 
 σc/Ec+σcAc/2AsEs=(αs-αc)ΔT
 σc・Ec・2AsEs/Ec+σcAc・Ec・2AsEs/2AsEs=(αs-αc)ΔT・Ec・2AsEs
 σc・2AsEs+σc・AcEc= 2AsEsEc(αs-αc)ΔT
 σc(2AsEs+AcEc)= 2AsEsEc(αs-αc)ΔT
 σc= 2AsEsEc(αs-αc)/(2AsEs+AcEc)・ΔT
ちょこっと整理して
 σc= -2(αc-αs)EcEsAs/(2EsAs+EcAc)・ΔT 
 
次に、σsを求めましょう。
 αs・ΔT+σs/Es=αc・ΔT+σc/Ec
に式(1)から、σc=-2σsAs/Acを代入すると、
 αs・ΔT+σs/Es=αc・ΔT-2σsAs/(Ac・Ec)
 σs/Es+2σsAs/(AcEc)=αc・ΔT-αs・ΔT
 σs・Es・AcEc/Es+2σsAs・Es・AcEc/(AcEc)=Es・AcEc・(αc-αs)・ΔT
 σs・(EcAc+2EsAs)=(αc-αs)EcEsAc・ΔT 
 σs=(αc-αs)EcEsAc /(2EsAs+EcAc)・ΔT 
 
と解答①に一致しましたね。
基礎材料力学 小泉堯 著 P26を参照し、編集いたしました。
 
一次試験は、とにかく過去問を繰り返し解くことが、合格への近道です。
頑張ってください。