問題20 下図に示すように,水平から角度αだけ傾いた斜面に質量M, 半径rの円柱を置き, 静かにはなす。そのときの時刻をt=0とし,その位置から斜面に沿って下向きに測った距離をxとする。重力加速度の大きさをgとするとき, xとtとの関係として,最も適切なものはどれか。ただし,円柱はすべらずに転がり落ちるものとする。なお,中心軸周りの円柱の慣性モーメントは 1/2 Mr^2である。
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技術士会の正答は、①でした。
進行方向の加速度aは、
sinα＝v’/g
なので、
v’＝gsinα
となります。v’は加速度を、表します。
重心における並進運動の運動方程式は、
Mv’＝Ma－F＝Mgsinα－F …（１）
となる。Fは摩擦力を表します。
重心まわりの回転に関する運動方程式は、
Jω’＝Fr …（２）
ここで、慣性モーメントJ、ω’角加速度です。
転がり下りる場合の角速度ωは、
v＝rω
v’＝rω’ …（３）
の関係が幾何学的に導ける。
式（２）、（３）から、
Jv’/r＝Fr
F＝J/r^2・v’
これを式（１）に代入して、
Mv’＝Mgsinα－J/r^2・v’
整理すると、
Mv’＋J/r^2・v’＝Mgsinα
Mv’r^2＋Jr^2/r^2・v’＝Mgr^2sinα
Mv’r^2＋J・v’＝Mgr^2sinα
（Mr^2＋J）・v’＝Mgr^2sinα
v’＝Mgr^2sinα/（Mr^2＋J）
これをtで積分する、（初期条件として、t＝0でv＝0とした。）
v＝Mgr^2sinαt/（Mr^2＋J）
ここで、慣性モーメントJは指示通り、
J＝1/2 Mr^2
として、代入すると、
v＝Mgr^2sinαt/（Mr^2＋1/2 Mr^2）
＝Mgr^2sinαt/（3/2 Mr^2）
＝2gsinαt/3
ここで、tで再度積分する。（t＝0でx＝0とした。x’＝v）
v＝2gsinαt/3
x＝2gsinα1/2t^2/3＋C
＝gsinαt^2/3＋C
ここで、Cは積分定数です。
初期条件で計算すると、
0＝0＋C
ですので、C＝ゼロですね。よって、
x＝1/3gt^2sinα
と、解答①に一致しましたね。（はぁ～疲れました。）
一次試験は、とにかく過去問を繰り返し解くことが、合格への近道です。
頑張ってください。
